1Планиметрия

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 90°}$, ${\displaystyle AB=10}$, ${\displaystyle BC=\sqrt{19}}$. Найдите ${\displaystyle \cos A}$.

Отрезки $AC$ и $BD$ $—$ диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $41°.$ Найдите величину угла $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 90°}$, ${\displaystyle AB=10}$, ${\displaystyle AC=\sqrt{51}}$. Найдите ${\displaystyle \sin A}$.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ стороны ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BC}$ равны, угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 168°,}$ угол ${\displaystyle CBD}$ внешний. Найдите величину угла ${\displaystyle CBD.}$ Ответ дайте в градусах.

Найдите величину угла $ACO,$ если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O,$ отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66°.$ Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 90°}$, ${\displaystyle AB=10}$, ${\displaystyle AC=\sqrt{91}}$. Найдите ${\displaystyle \sin A}$.

В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен 24, вписана окружность, $AB=5.$ Найдите длину стороны $CD.$ 

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103°,$ угол $CAD$ равен $42°.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность. Угол ${\displaystyle ABD}$ равен ${\displaystyle 61°}$, угол ${\displaystyle CAD}$ равен ${\displaystyle 37°}$. Найдите угол ${\displaystyle ABC}$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 90°}$, ${\displaystyle AB=5}$, ${\displaystyle BC=4}$. Найдите ${\displaystyle \cos A}$.

Отрезки $AC$ и $BD$ $—$ диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $59°.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

В треугольнике  сторона  равна , угол  равен  Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны ${\displaystyle 59°}$ и ${\displaystyle 102°.}$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность.
Угол ${\displaystyle ABC}$ равен ${\displaystyle 120°,}$ угол ${\displaystyle ABD}$ равен ${\displaystyle 43°.}$ Найдите угол ${\displaystyle CAD.}$ Ответ дайте в градусах.

Отрезки ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ диаметры окружности с центром ${\displaystyle O}$. Угол ${\displaystyle AOD}$ равен ${\displaystyle 16°}$. Найдите вписанный угол ${\displaystyle ACB}$. Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=\mathrm{14,}$ $CD=17.$ Найдите периметр четырёхугольника $ABCD.$

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность. Угол ${\displaystyle ABC}$ равен ${\displaystyle 98°}$, угол ${\displaystyle CAD}$ равен ${\displaystyle 44°}$. Найдите угол ${\displaystyle ABD}$. Ответ дайте в градусах.

Площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$ равна 28. Точка ${\displaystyle E}$ — середина стороны ${\displaystyle AD.}$ Найдите площадь трапеции ${\displaystyle BCDE.}$ 

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $9°$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM\text{},$ проведёнными из вершины прямого угла $C.$ Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=\mathrm{9,}$ $CD=17.$ Найдите периметр четырёхугольника $ABCD.$

Площадь треугольника  равна 24,  — средняя линия, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции .

Четырёхугольник  вписан в окружность. Угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62°,$ угол $CAD$ равен $41°.$ Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=\mathrm{6,}$ $BC=\mathrm{4,}$  $CD=9.$ Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.

В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен 22, вписана окружность, $AB=8.$ Найдите длину стороны $CD.$

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 24. Точка $E$ $—$ середина стороны $AD.$ Найдите площадь трапеции $BCDE.$

Острый угол  прямоугольного треугольника  равен  Найдите величину угла между биссектрисой  и медианой  проведёнными из вершины прямого угла  Ответ дайте в градусах.

Найдите центральный угол, если он на ${\displaystyle 28°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.

Острый угол ${\displaystyle B}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ равен ${\displaystyle 25°\text{}.}$ Найдите величину угла между высотой ${\displaystyle CH}$ и биссектрисой ${\displaystyle CD,}$ проведёнными из вершины прямого угла ${\displaystyle C.}$ Ответ дайте в градусах.

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Отрезки ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ диаметры окружности с центром ${\displaystyle O}$. Угол ${\displaystyle ACB}$ равен ${\displaystyle 32°}$. Найдите угол ${\displaystyle AOD}$. Ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=\mathrm{10,}$ $BC=\mathrm{6,}$  $CD=15.$ Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.

Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ $—$ средняя линия, параллельная стороне $AB.$ Найдите площадь треугольника $CDE.$

Отрезки ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ диаметры окружности с центром ${\displaystyle O}$. Угол ${\displaystyle ACB}$ равен ${\displaystyle 61°}$. Найдите угол ${\displaystyle AOD}$. Ответ дайте в градусах.

Угол $ACO$ равен $57°.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол ${\displaystyle ACO}$, если его сторона ${\displaystyle CA}$ касается окружности с центром ${\displaystyle O}$, отрезок ${\displaystyle CO}$ пересекает окружность в точке ${\displaystyle B}$ (см. рис.), а дуга ${\displaystyle AB}$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна ${\displaystyle 17°}$. Ответ дайте в градусах.

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 54°,}$ ${\displaystyle AD}$ — биссектриса, угол ${\displaystyle CAD}$ равен ${\displaystyle 30°.}$ Найдите величину угла ${\displaystyle B.}$ Ответ дайте в градусах.

Центральный угол на ${\displaystyle 32°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите величину центрального угла, если он на $69°$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107°.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

Острый угол ${\displaystyle B}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ равен ${\displaystyle 65°.}$ Найдите величину угла между высотой ${\displaystyle CH}$ и медианой ${\displaystyle CM\text{},}$ проведёнными из вершины прямого угла ${\displaystyle C.}$ Ответ дайте в градусах.

Отрезки $AC$ и $BD$ $—$ диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $114°.$ Найдите величину вписанного угла $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 54°,}$ ${\displaystyle AD}$ — биссектриса, угол ${\displaystyle BAD}$ равен ${\displaystyle 23°.}$ Найдите величину угла ${\displaystyle ADB.}$ Ответ дайте в градусах.

Отрезки ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ диаметры окружности с центром ${\displaystyle O}$. Угол ${\displaystyle AOD}$ равен ${\displaystyle 130°}$. Найдите вписанный угол ${\displaystyle ACB}$. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол на $29°$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность. Угол ${\displaystyle ABD}$ равен ${\displaystyle 58°}$, угол ${\displaystyle CAD}$ равен ${\displaystyle 39°}$. Найдите угол ${\displaystyle ABC}$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle C}$ равен ${\displaystyle 55°,}$ ${\displaystyle AD}$ — биссектриса, угол ${\displaystyle CAD}$ равен ${\displaystyle 29°.}$ Найдите величину угла ${\displaystyle ABD.}$ Ответ дайте в градусах.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 60. Точка $E$ $—$ середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$

Угол ${\displaystyle ACO}$ равен ${\displaystyle 62°}$. Его сторона ${\displaystyle CA}$ касается окружности с центром в точке ${\displaystyle O}$. Отрезок ${\displaystyle CO}$ пересекает окружность в точке ${\displaystyle B}$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги ${\displaystyle AB}$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Острый угол ${\displaystyle B}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ равен ${\displaystyle 70°\text{}.}$ Найдите величину угла между биссектрисой ${\displaystyle CD}$ и медианой ${\displaystyle CM\text{},}$ проведёнными из вершины прямого угла ${\displaystyle C.}$ Ответ дайте в градусах.

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=\mathrm{10,}$ $CD=17.$ Найдите периметр четырёхугольника $ABCD.$

В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен 30, вписана окружность, $AB=9.$ Найдите длину стороны $CD.$

Площадь треугольника $ABC$ равна 60, $DE$ $—$ средняя линия, параллельная стороне $AB.$ Найдите площадь трапеции $ABED.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ сторона ${\displaystyle AB}$ равна ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$, угол ${\displaystyle С}$ равен ${\displaystyle 120°.}$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.