15Стереометрическая задача

В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=2:1}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=1:2}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании прямой треугольной призмы ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ лежит равнобедренный ( ${\displaystyle AB=BC}$ ) треугольник ${\displaystyle ABC}$. Точка ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle A_1{B}_1}$, а точка ${\displaystyle M}$ делит ребро ${\displaystyle AC}$ в отношении ${\displaystyle AM:MC=1:3}$.

а) Докажите, что  ${\displaystyle KM\perp AC}$.

б) Найдите угол между прямой ${\displaystyle KM}$ и плоскостью ${\displaystyle AB{B}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle AC=8}$ и ${\displaystyle A{A}_1=3}$.

На ребре ${\displaystyle A{A}_1}$ прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ взята точка E так, что ${\displaystyle A_{1}E:EA=1:2}$, на ребре ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle F}$ так, что ${\displaystyle B_{1}F:FB=1:5}$, а точка Т ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$. Известно, что ${\displaystyle AB=2}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=6}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через вершину ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите угол между плоскостью ${\displaystyle EFT}$ и плоскостью ${\displaystyle A{A}_1{B}_1}$.

В основании пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ лежит прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$ со стороной ${\displaystyle AB=5}$ и диагональю ${\displaystyle BD=9}$. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.
На диагонали ${\displaystyle BD}$ основания ${\displaystyle ABCD}$ отмечена точка ${\displaystyle E}$, а на ребре ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle F}$ так, что ${\displaystyle SF=BE=4}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle CEF}$ параллельна ребру ${\displaystyle SB}$.

б) Плоскость ${\displaystyle CEF}$ пересекает ребро ${\displaystyle SD}$ в точке ${\displaystyle Q}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle Q}$ до плоскости ${\displaystyle ABC}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $—$ центр основания пирамиды, точка $M$ $—$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:\mathrm{1,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=45°}$, ${\displaystyle AB=2\sqrt{3}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{6}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$.

Различные точки $A,$ $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60°\text{}.$

а) Докажите, что $\cos \angle ASC+\cos \angle BSC=\mathrm{1,5.}$

б) Найдите объём тетраэдра $SABC,$ если $SC=\mathrm{1,}$ $\cos \angle ASC=\frac{2}{3}.$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$  и $BC,$ равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$  и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:\mathrm{2,}$ $BN:NC=1:2.$
Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K.$

а) Докажите, что $SK:KC=6:1.$

б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=10}$, ${\displaystyle AB=12}$.

На рёбрах $BC,$ $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}\text{,}$ проходящая через точки $L,$ $M,$ $N,$ делит ребро $CD$ в отношении $2:\mathrm{1,}$ считая от вершины $C.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\text{α}\text{,}$ если $AB=6.$

В основании пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ лежит трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с большим основанием ${\displaystyle AD.}$ Диагонали трапеции пересекаются в точке ${\displaystyle O.}$ Точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — середины боковых сторон ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ соответственно. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ проходит через точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ параллельно прямой ${\displaystyle SO.}$ 

а) Докажите, что сечение пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, если ${\displaystyle AD=\mathrm{10,}}$ ${\displaystyle BC=\mathrm{8,}}$ ${\displaystyle SO=\mathrm{8,}}$ а прямая ${\displaystyle SO}$ перпендикулярна прямой ${\displaystyle AD.}$ 

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 2, а боковое ребро  равно 8. Точка  — середина ребра . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и . Прямая  пересекает плоскость  в точке .

а) Докажите, что .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 4. Точка K $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $AKC.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ${\displaystyle AB=20}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=21}$.

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 5, а боковое ребро  равно 9. Точка  лежит на ребре , , а точка  лежит на ребре . Известно, что .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите площадь треугольника .

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ известно, что $AB=2.$ Плоскость $\text{α}$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $C{C}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\text{α}$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\text{α}$ равна $6.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{8,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $45°.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если ${\displaystyle AB=7}$, ${\displaystyle B{B}_1=24}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=10}$.

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD$  с углом $60°$ при вершине $A.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1{C}_1$ в отношении $B_{1}K:K{C}_1=2:3.$

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 8, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SB}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle AM=2}$, ${\displaystyle SK=1}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle ABC}$ и содержит точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит точку ${\displaystyle C}$.

б) Найдите площадь сечения пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=\sqrt{2}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}.$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\text{α}$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5:\mathrm{1,}$ считая от точки $C.$

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\text{α}\text{.}$

В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 6, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно ${\displaystyle \sqrt{21}}$. На рёбрах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SB}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle AM=4}$, ${\displaystyle SK:KB=1:3}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle CKM}$ перпендикулярна плоскости ${\displaystyle ABC}$.

б) Найдите объём пирамиды ${\displaystyle BCKM}$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF,$ если $AB=\mathrm{12,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30°.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF,$ если $AB=\mathrm{8,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $45°.$

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $A{A}_1$ и $C{C}_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M{B}_{1}KD$ $—$ ромб.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A{A}_1.$

б) Найдите высоту призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1,$ если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $M{B}_{1}KD$ равна 6.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ $—$ середина ребра $AB.$ Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha ,$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K.$

а) Докажите, что $K$ $—$ середина ребра $SD.$

б) Найдите объём пирамиды $SABCD,$ если $AB=\mathrm{24,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30°.$

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны, а ${\displaystyle AB=BC=AC=6\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=1:2}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle D}$ до плоскости ${\displaystyle MNB}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\text{α}$, образующую сечение $ABMN\text{},$ где точки $M$ и $N$ $—$ точки пересечения плоскости $\text{α}$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB=BM=AN=5MN\text{}.$ 

а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:\mathrm{4,}$ считая от вершины $S.$

б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\text{α}\text{.}$ 

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:\mathrm{2,}$ а точка $K$ $—$ середина ребра $D{D}_1.$

а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$

б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90°,$ $\angle ADC=60°.$

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ отметили точки $M$ и $K$  на рёбрах $A{A}_1$ и $A_1{B}_1$ соответственно. Известно, что $A_{1}M=2MA,$ $A_{1}K=K{B}_1.$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\text{α}$ перпендикулярно грани $AB{B}_1{A}_1.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ проходит через вершину $C_1.$

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\text{α}\text{,}$ если все рёбра призмы равны $12.$

Плоскость $\text{α}$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K.$ Сечение пирамиды плоскостью $\text{α}$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}.$а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ перпендикулярна прямой $AC.$

б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA,$ считая от точки $S,$ если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}?$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ 

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если известно, что $BK=\mathrm{1,}$ $KC=3.$

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 6, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:2}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ является прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$, причём ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle BC=4}$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ опущены перпендикуляры ${\displaystyle AP }$ и ${\displaystyle CQ}$ на ребро ${\displaystyle SB}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle —}$ середина отрезка ${\displaystyle BQ}$.

б) Найдите угол между гранями ${\displaystyle SBA}$ и ${\displaystyle SBC}$, если ${\displaystyle SD=4}$.

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=6\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=10}$, ${\displaystyle A{A}_1=16}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=5:3}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=5:11}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ с основанием ${\displaystyle ABCD}$ равны 4. Точка ${\displaystyle O}$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой ${\displaystyle SA}$ и проходящая через точку ${\displaystyle O,}$ пересекает рёбра ${\displaystyle SC}$ и ${\displaystyle SD}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. Точка ${\displaystyle N}$ делит ребро ${\displaystyle SD}$ в отношении ${\displaystyle SN:ND=1:3.}$ 

а) Докажите, что точка ${\displaystyle M}$ — середина ребра ${\displaystyle SC.}$ 

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость ${\displaystyle OMN}$ пересекает грань ${\displaystyle SBC.}$ 

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 4, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:3}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны, а ${\displaystyle AB=BC=AC=5\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=2:3}$. Найдите площадь сечения ${\displaystyle MNB}$.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 4. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём .

а) Точки  и  — центры окружностей, описанных около треугольников  и  соответственно. Докажите, что прямая  содержит точку пересечения медиан треугольника .

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости .

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ через середину $M$ диагонали $A{C}_1$ проведена плоскость $\text{α}$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{3,}$ $A{A}_1=4.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ содержит точку $D_1.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\text{α}$ делит ребро $A_1{B}_1.$

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=10}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=3:2}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=3:7}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=1}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$  в отношении $AP:PB=1:\mathrm{3,}$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_1{C}_1.$ 
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ,$ считая от точки $P,$ если известно, что $AB=A{A}_1,$ $AB:BC=2:5.$

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB=1.$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\text{α}\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ проходит через вершины $B$ и $D.$

б) В каком отношении плоскость $\text{α}$ делит ребро $SC\text{},$ считая от вершины $S,$ если площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{3}?$

В правильной треугольной призме ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ все рёбра равны, на ребре ${\displaystyle A{A}_1}$ отмечена точка ${\displaystyle M.}$ Известно, что ${\displaystyle AM=2M{A}_1.}$ Через точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle C_1}$ провели плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ перпендикулярно грани ${\displaystyle AB{B}_1{A}_1.}$ 

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ делит ребро ${\displaystyle A_1{B}_1}$ пополам.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$ равна ${\displaystyle \sqrt{39}.}$ 

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите угол между прямыми ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle A{C}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=8}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle PABCD}$ является трапеция ${\displaystyle ABCD}$, причём ${\displaystyle \angle BAD+\angle ADC=90°}$. Плоскости ${\displaystyle PAB}$ и ${\displaystyle PCD}$ перпендикулярны плоскости основания, ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения прямых ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что плоскости ${\displaystyle PAB}$ и ${\displaystyle PCD}$ перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды ${\displaystyle KBCP}$, если ${\displaystyle AB=BC=CD=4}$, а высота пирамиды ${\displaystyle PABCD}$ равна 9.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$, если ${\displaystyle AB=21}$, ${\displaystyle B{B}_1=12}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=16}$.

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1}K:K{C}_1=1:2.$ Четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка $N$ $—$ середина ребра $BC.$

б) Найдите площадь трапеции $AMKN,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

Точка $M$ $—$ середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD.$ Точка $N$ лежит на ребре $SB,$ $SN:NB=1:2.$

а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD.$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN,$ если все рёбра пирамиды равны 6.

На рёбрах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle AM:MB=CN:NB=1:2}$. Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle —}$ середины рёбер ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ соответственно.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость ${\displaystyle PQM}$ разбивает пирамиду.

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_{1}N$ и $CM$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\text{α}$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM.$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\text{α}\text{,}$ если $B_{1}N=6.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 6. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM=AK=4.$

а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5:4.$

б) Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK.$

Точка $M$ $—$ середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD.$ Точка $N$ лежит на стороне основания $BC.$ Плоскость $\text{α}$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA.$

а) Плоскость $\text{α}$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L.$ Докажите, что $BN:NC=DL:LS.$

б) Плоскость $\text{α}$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN:NC=1:3.$

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:\mathrm{2,}$ а точка $K$ $—$ середина ребра $D{D}_1.$

а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $B{B}_1$ пополам.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90°,$ $\angle ADC=60°.$

На ребре ${\displaystyle SD}$ правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$  с основанием ${\displaystyle ABCD}$ отмечена точка ${\displaystyle M}$, причём ${\displaystyle SM:MD=2:1}$.
Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle —}$ середины рёбер ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ${\displaystyle MPQ}$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость ${\displaystyle MPQ}$ разбивает пирамиду.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=6}$, ${\displaystyle AB=4}$.

На рёбрах $AC,$ $AD,$ $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K,$ $L,$ $M$  и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3.$ Четырёхугольник $KLMN$ $—$ квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM,$ если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$  в отношении $AP:PB=1:\mathrm{3,}$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_1{C}_1.$ 
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1{C}_1,$ считая от точки $A_1,$ если известно, что $AB=A{A}_1,$ $AB:BC=2:5.$

В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ с основанием ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ — середины рёбер ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SC}$ соответственно, а точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ отмечены на рёбрах ${\displaystyle SA}$ и ${\displaystyle BC}$ соответственно так, что отрезки ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle NL}$ пересекаются, а ${\displaystyle AN=3NS.}$ 

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle MN,}$ ${\displaystyle KL}$ и ${\displaystyle SB}$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение ${\displaystyle BL:LC.}$ 

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ $—$ середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC.$

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{12,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60°.$

В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ с основанием ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ — середины рёбер ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SC}$ соответственно. На продолжении ребра ${\displaystyle SB}$ за точку ${\displaystyle S}$ отмечена точка ${\displaystyle R.}$ Прямые ${\displaystyle RM}$ и ${\displaystyle RK}$ пересекают рёбра ${\displaystyle AS}$ и ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ соответственно, причём ${\displaystyle BL=3LC.}$ 

а) Докажите, что отрезки ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle NL}$ пересекаются.

б) Найдите отношение ${\displaystyle AN:NS.}$ 

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ $—$ середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC.$

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{24,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30°.$