18Планиметрическая задача

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle 30°}$, В₁С₁= ${\displaystyle 5}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Диагонали равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ перпендикулярны. Окружность с диаметром ${\displaystyle AD}$ пересекает боковую сторону ${\displaystyle CD}$ в точке ${\displaystyle M}$, а окружность с диаметром ${\displaystyle CD}$ пересекает основание ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle N}$. Отрезки ${\displaystyle AM}$ и ${\displaystyle CN}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$.

а) Докажите, что в четырёхугольник ${\displaystyle ABCP}$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если ${\displaystyle BC=7}$, ${\displaystyle AD=23}$.

Дана трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$. Диагональ ${\displaystyle BD}$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что луч ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ биссектриса угла ${\displaystyle BAD}$.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если известны диагонали трапеции: ${\displaystyle AC=12}$ и ${\displaystyle BD=\mathrm{6,5}}$.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle {45}^{\circ }}$, В₁С₁= ${\displaystyle 6}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB₁C₁.

Диагонали равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ перпендикулярны. Окружность с диаметром ${\displaystyle AD}$ пересекает боковую сторону ${\displaystyle CD}$ в точке ${\displaystyle M}$, а окружность с диаметром ${\displaystyle CD}$ пересекает основание ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle N}$. Отрезки ${\displaystyle AM}$ и ${\displaystyle CN}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$.

а) Докажите, что в четырёхугольник ${\displaystyle ABCP}$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если ${\displaystyle BC=7}$, ${\displaystyle AD=17}$.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ в отношении ${\displaystyle AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4}$, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, ${\displaystyle PQ=\mathrm{16,}QW=12}$, угол PWQ ${\displaystyle —}$ острый.

а) Докажите, что треугольник ${\displaystyle PQW}$ ${\displaystyle —}$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle {135}^{\circ }}$, B₁C₁=10 и площадь треугольника АВ₁С₁ в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСB₁C₁.

Прямая, проходящая через середину ${\displaystyle M}$ гипотенузы ${\displaystyle AB}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$, перпендикулярна ${\displaystyle CM}$ и пересекает катет ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle K}$. При этом ${\displaystyle AK:KC=1:2}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle BAC=30°}$.

б) Пусть прямые ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle BC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$, а прямые ${\displaystyle AP}$ и ${\displaystyle BK}$ ${\displaystyle —}$ в точке ${\displaystyle Q}$. Найдите ${\displaystyle KQ}$, если ${\displaystyle BC=\sqrt{21}}$.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ в отношении ${\displaystyle AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4}$, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, ${\displaystyle PQ=\mathrm{16,}QW=12}$, угол ${\displaystyle PWQ}$ ${\displaystyle —}$ острый.

а) Докажите, что треугольник ${\displaystyle PQW}$ ${\displaystyle —}$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle 45°}$, В₁С₁= ${\displaystyle 6}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁

б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle A=150°}$, ${\displaystyle BC=5\sqrt{5}}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁

б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle A=120°}$, ${\displaystyle BC=10\sqrt{7}}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Прямая, проходящая через вершину ${\displaystyle B}$ прямоугольника ${\displaystyle ABCD}$ перпендикулярно диагонали ${\displaystyle AC}$, пересекает сторону ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle M}$, равноудалённой от вершин ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ABM=\angle DBС=30°}$.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой ${\displaystyle CM}$, если ${\displaystyle BC=9}$.

Дана трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$. Диагональ ${\displaystyle BD}$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что луч ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ биссектриса угла ${\displaystyle BAD}$.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если известны диагонали трапеции: ${\displaystyle AC=15}$ и ${\displaystyle BD=\mathrm{8,5}}$.

На сторонах ,  и  треугольника  отмечены точки ,  и  соответственно, причём , , . Отрезки  и  пересекаются в точке .

а) Докажите, что четырёхугольник  — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если отрезки  и  перпендикулярны, , .

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=60°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=2\sqrt{3}}$.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность радиуса ${\displaystyle R=8}$. Известно, что ${\displaystyle AB=BC=CD=12}$.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ параллельны.

б) Найдите ${\displaystyle AD}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH,$ $BN$ и $CK$ $—$ высоты. Известно, что $AK=\mathrm{1,}$ $BH=\mathrm{2,}$ а $\angle KNH=60°.$ 

а) Докажите, что $\angle ABC=60°.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ 

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в два раза больше основания ${\displaystyle BC}$. Внутри трапеции взяли точку ${\displaystyle M}$ так, что углы ${\displaystyle ABM}$ и ${\displaystyle DCM}$ прямые.

а) Докажите, что ${\displaystyle AM=DM}$.

б) Найдите угол ${\displaystyle BAD}$, если угол ${\displaystyle ADC}$ равен ${\displaystyle 70°}$, а расстояние от точки ${\displaystyle M}$ до прямой ${\displaystyle AD}$ равно стороне ${\displaystyle BC}$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $\angle MNK=90°\text{},$ $\angle NKL=\angle KLM=120°\text{}.$ 

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA=1.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle 120°}$. Прямые, содержащие высоты ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle CN}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в точке ${\displaystyle H}$. Точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AH=AO}$.

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AHO}$, если ${\displaystyle BC=\sqrt{15}}$, ${\displaystyle \angle ABC=45°}$.

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает продолжение стороны ${\displaystyle AD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle BK=BE}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:AC}$, если ${\displaystyle \angle BAD=30°}$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO,$ $CN=NO.$

а) Докажите, что точки $M,$ $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение $AM:MB,$ если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31.$

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM=MC.$

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC.$

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{10,}$ $\angle BAD=60°\text{}.$

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ касается сторон угла с вершиной ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Отрезок ${\displaystyle BC}$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая ${\displaystyle AC}$ параллельна биссектрисе угла ${\displaystyle ANB.}$ 

б) Найдите длину отрезка ${\displaystyle NO,}$ если известно, что ${\displaystyle AC=10}$ и ${\displaystyle AB=24.}$ 

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в три раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины диагонали ${\displaystyle BD}$, если ${\displaystyle AD=15}$ и ${\displaystyle AC=2\sqrt{61}}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ угол ${\displaystyle BAD}$ прямой. Окружность, построенная на большем основании ${\displaystyle AD}$ как на диаметре, пересекает меньшее основание ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle M}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle BAM=\angle CAD}$.

б) Диагонали трапеции ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle O}$. Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AOB}$, если ${\displaystyle AB=\sqrt{10}}$, а ${\displaystyle BC=2BM}$.

В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30°\text{},$ отрезки $AH$ и $AM$ $—$ высота и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ 
Отрезок $MQ$ $—$ высота треугольника $AMC,$ а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F\text{}.$ Известно, что луч $AM$ $—$ биссектриса угла $CAH\text{}.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CMF\text{},$ если $AB=8.$

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ высекает на всех сторонах трапеции ${\displaystyle ABCD}$ равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону ${\displaystyle AB}$ в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ так, что ${\displaystyle AK=15}$, ${\displaystyle KL=6}$, ${\displaystyle LB=5}$.

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $C{C}_1$ и биссектрисы $B{B}_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40°\text{},$ $\angle ACB=85°\text{}.$

а) Докажите, что $BM=CN.$

б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D.$ Найдите площадь треугольника $BDN,$ если его высота $BH$ равна 6.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$  в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.

б) Найдите отношение $AM:MC,$ если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны 4 и 9 соответственно.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $\angle MNK=90°\text{},$ $\angle LMN=\angle KLM=60°\text{}.$ 

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA=3.$

Пятиугольник ${\displaystyle ABCDE}$ вписан в окружность. Диагонали ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BE}$ пересекаются в точке ${\displaystyle M.}$ Известно, что ${\displaystyle BCDM}$ — параллелограмм.

а) Докажите, что ${\displaystyle BC=DE.}$ 

б) Найдите длину стороны ${\displaystyle AB,}$ если известно, что ${\displaystyle DE=\mathrm{4,}}$ ${\displaystyle AD=\mathrm{7,}}$ ${\displaystyle BE=8}$ и ${\displaystyle AB>BC.}$ 

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Высоты ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$ остроугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle H.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle B{B}_1{C}_1=\angle BAH.}$ 

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC,}$ до стороны ${\displaystyle BC,}$ если ${\displaystyle B_1{C}_1=18}$ и ${\displaystyle \angle BAC=30°\text{}.}$ 

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AE=AK}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:BD}$, если ${\displaystyle \angle BAD=60°}$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3.$ Окружность, вписанная в треугольник $ABC,$ касается отрезка $MN$ в точке $L.$

а) Докажите, что $AB+BC=4AC.$

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC,$ если $ML=\frac{9}{5}\text{},$ $LN=3.$

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ и пересекает сторону ${\displaystyle CD}$  в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AE=AK}$.

б) Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle CE=10}$, ${\displaystyle DK=9}$ и ${\displaystyle \cos \angle BAD=\mathrm{0,2}}$.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=120°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=6\sqrt{3}}$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD.$ 
Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L.$ На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $AE=CE.$

а) Докажите, что $AL\cdot BC=AB\cdot AC.$

б) Найдите $EL,$ если $AC=\mathrm{8,}$ $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{2}.$

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=17$ и $AC=16.$ 

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle BAC}$ в два раза больше угла ${\displaystyle ABC\text{.}}$ Точка ${\displaystyle O}$ — центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC\text{.}}$ Окружность, описанная около треугольника ${\displaystyle AOC\text{},}$ пересекает отрезок ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle P\text{.}}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AP=BP\text{.}}$ 

б) Найдите длину стороны ${\displaystyle BC\text{},}$ если ${\displaystyle AB=7\text{},}$ ${\displaystyle AC=4.}$ 

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC.$ Точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Окружность, описанная около треугольника $AOC,$ пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P.$

а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны.

б) Найдите длину стороны $AB,$ если $AC=\mathrm{2,}$ $BC=\sqrt{10}.$

В прямоугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точка ${\displaystyle M}$ лежит на катете ${\displaystyle AC}$, а точка ${\displaystyle N}$ лежит на продолжении катета ${\displaystyle BC}$ за точку ${\displaystyle C}$, причём ${\displaystyle CM=BC}$ и ${\displaystyle CN=AC}$.

а) Отрезки ${\displaystyle CP}$ и ${\displaystyle CQ}$ ${\displaystyle —}$ медианы треугольников ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle NCM}$ соответственно. Докажите, что прямые ${\displaystyle CP}$ и ${\displaystyle CQ}$ перпендикулярны.

б) Прямые ${\displaystyle MN}$ и ${\displaystyle AB}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$, а прямые ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle AN}$ ${\displaystyle —}$  в точке ${\displaystyle L}$. Найдите ${\displaystyle KL}$, если ${\displaystyle BC=1}$, а ${\displaystyle AC=5}$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=\mathrm{3,}$ $BC=DE=4.$

а) Докажите, что $AC=CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD=6.$

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH.$

а) Докажите, что $\angle AOC=90°.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $BO=7$ и $AC=16.$ 

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины  и  равнобедренного прямоугольного треугольника  с прямым углом  лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая  вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая  вторично пересекает меньшую окружность в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=30°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=4\sqrt{3}}$.

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ касается сторон угла с вершиной ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Отрезок ${\displaystyle BC}$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ANB=2\angle ABC.}$ 

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle N}$ до прямой ${\displaystyle AB,}$ если известно, что ${\displaystyle AC=14}$ и ${\displaystyle AB=36.}$ 

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причём $AM:MC=1:\mathrm{2,}$ $BN:ND=1:3.$

а) Докажите, что $\cos \angle BAD=\frac{1}{5}$.

б) Найдите площадь ромба, если $MN=5.$

В прямоугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — середины гипотенузы ${\displaystyle AB}$ и катета ${\displaystyle BC}$ соответственно, точка ${\displaystyle K}$ отмечена на катете ${\displaystyle BC}$ так, что ${\displaystyle CK:KB=1:3.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AN=2KM.}$ 

б) Пусть ${\displaystyle P}$ — точка пересечения отрезков ${\displaystyle AN}$ и ${\displaystyle KM}$. Найдите длину отрезка прямой ${\displaystyle BP,}$ заключённого внутри треугольника ${\displaystyle ABC,}$ если ${\displaystyle AC=\mathrm{6,}}$ ${\displaystyle BC=8.}$ 

Окружность с центром $O$ касается катетов $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы $—$ в точке $K.$ Отрезок $EH$ $—$ перпендикуляр к прямой $MK.$

а) Докажите, что прямые $CH$ и $EK$ параллельны.

б) Найдите отношение $CH:EK,$ если $AC=12$ и $BC=5.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=120°}$, ${\displaystyle \angle BCA=15°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=4\sqrt{3}}$.

Периметр треугольника ${\displaystyle ABC}$ равен 36. Точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ — середины сторон ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ соответственно. Отрезок ${\displaystyle EF}$ касается окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AC=9.}$ 

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle ABC,}$ если ${\displaystyle \angle ACB=90°.}$ 

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K.$

а) Докажите, что $\angle BKM=45°\text{}.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK,$ если сторона $AB=2\sqrt{10}.$

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$  в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK\text{}.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK\text{},$ если $AM:MC=1:4.$

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH.$

а) Докажите, что $\angle OAC=45°.$

б) Найдите длину отрезка $BC,$ если $BO=1$ и $AC=6.$

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $A{A}_1,$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $B{B}_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $A{A}_1$ в точке $K.$

а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_{1}H.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1}HK$ и $ABC,$ если $AB=\mathrm{6,}$ $BC=\mathrm{4,}$ $AC=5.$

Две окружности касаются внутренним образом в точке ${\displaystyle A,}$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда ${\displaystyle BC}$ большей окружности касается меньшей в точке ${\displaystyle P.}$ Хорды ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ пересекают меньшую окружность в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle M}$ соответственно.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle KM}$ и ${\displaystyle BC}$ параллельны.

б) Пусть ${\displaystyle L}$ — точка пересечения отрезков ${\displaystyle KM}$ и ${\displaystyle AP.}$ Найдите длину отрезка ${\displaystyle AL,}$ если радиус большей окружности равен 34, а ${\displaystyle BC=32.}$ 

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD.$ Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E.$ 
Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK.$

а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK.$

б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF,$ если $BD:DC=5:2.$

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N\text{},$ причём $AM:MC=1:\mathrm{2,}$ $BN:ND=1:3.$

а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4.$

б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}.$

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ,$ причём точка $P$ лежит на стороне $AD,$ а точка $Q$ $—$ на стороне $CD.$ На стороне $AD$ отмечена точка $M.$ Известно, что $AM=BP,$ $AB=BQ.$

а) Докажите, что $BM=PQ.$

б) Найдите площадь треугольника $APQ,$ если $AM=BP=\mathrm{8,}$ $AB=BQ=10.$

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$ 

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=5$ и $AC=6.$

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины  и  равнобедренного прямоугольного треугольника   с прямым углом  лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая  вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая  вторично пересекает меньшую окружность в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите , если радиусы окружностей равны  и 15.

Окружность с центром ${\displaystyle O_1}$ касается оснований ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ и боковой стороны ${\displaystyle AB}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$. Окружность с центром ${\displaystyle O_2}$ касается сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle AD}$. Известно, что ${\displaystyle AB=10}$, ${\displaystyle BC=9}$, ${\displaystyle CD=30}$, ${\displaystyle AD=39}$.

а) Докажите, что прямая ${\displaystyle O_1{O}_2}$ параллельна основаниям трапеции ${\displaystyle ABCD}$.

б) Найдите ${\displaystyle O_1{O}_2}$.

Точка ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle —}$ середина боковой стороны ${\displaystyle CD}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$. На стороне ${\displaystyle AB}$ взяли точку ${\displaystyle K}$ так, что прямые ${\displaystyle CK}$ и ${\displaystyle AE}$ параллельны. Отрезки ${\displaystyle CK}$ и ${\displaystyle BE}$ пересекаются в точке ${\displaystyle O}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle CO=KO}$.

б) Найдите отношение оснований трапеции ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$, если площадь треугольника ${\displaystyle BCK}$ составляет ${\displaystyle \frac{9}{100}}$ площади трапеции ${\displaystyle ABCD}$.

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle M}$ и пересекает продолжение стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle N}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AM=AN}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle CD:DN}$, если ${\displaystyle AB:BC=1:2}$, а ${\displaystyle \cos \angle BAD=\frac{2}{3}}$.

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в два раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения диагоналей трапеции ${\displaystyle ABCD}$. Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины отрезка ${\displaystyle OD}$, если ${\displaystyle BC=16}$ и ${\displaystyle AB=10}$.

На сторонах ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ отмечены точки ${\displaystyle C_1}$, ${\displaystyle A_1}$ и ${\displaystyle B_1}$ соответственно, причём ${\displaystyle A{C}_1:C_{1}B=21:10}$, ${\displaystyle B{A}_1:A_{1}C=2:3}$, ${\displaystyle A{B}_1:B_{1}C=2:5}$. Отрезки ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$ пересекаются в точке ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что четырёхугольник ${\displaystyle AD{A}_1{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ параллелограмм.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если отрезки ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ перпендикулярны, ${\displaystyle AC=63}$, ${\displaystyle BC=25}$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD.$

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle 120°}$. Прямые, содержащие высоты ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle CN}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в точке ${\displaystyle H}$. Точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AH=AO}$.

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AHO}$, если ${\displaystyle BC=3}$, ${\displaystyle \angle ABC=15°}$.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны  в точке . Луч  вторично пересекает окружность в точке , а прямую  — в точке , причём , .

а) Докажите, что .

б) Найдите основания трапеции.